Обобщенный закон гука. Деформация твердого тела

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ х , равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа , поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

где μ - константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25-0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ x , σ y , σ z , равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р , даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = Qδ , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука . Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ . Для этого рассмотрим частный случай, когда σ х = σ , σ y = -σ и σ z = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс , нормальные напряжения σ v на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом . Из уравнений (5.2а) следует, что

то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b : ε y = -ε x .

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс :

Отсюда следует, что

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Деформация является упругой , в том случае, если она полностью исчезает при прекращении действия деформирующей силы.

Упругая деформация переходит неупругую (пластическую), перейти предел упругости. При упругой деформации частицы, смещенные в новые положения равновесия в кристаллической решетке, после снятия деформирующей силы занимают в старые места. Тело полностью восстанавливает свои размеры и форму после снятия нагрузки.

Закон упругой деформации

Английский естествоиспытатель Р. Гук опытным путем получил, прямую связь между деформирующей силой (F) и удлинением деформированной пружины (x). Внешняя сила порождает силы упругости тела. Эти силы равны по величине, сила упругости уравновешивает действие силы деформации. Закон Гука записывают как:

где - проекция силы на ось X; x- удлинение пружины по оси X; k - коэффициент упругости пружины (жесткость пружины). При использовании такой величины, как сила упругости () для деформированной пружины, то закон Гука приобретает вид:

где - проекция силы упругости на ось X. Коэффициент k - это величина, зависящая от материала, размеров витка пружины и ее длины. Закон Гука справедлив для малых удлинений и небольших нагрузок.

Закон упругой деформации справедлив для растяжения (сжатия) упругого стержня. Обычно, в этом случае, упругие силы в стержне описывают при помощи напряжения .

При этом считают, что сила распределяется равномерно по сечению и она перпендикулярна поверхности сечения. title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="40" style="vertical-align: 0px;">, если происходит растяжение и при сжатии. Напряжение называют нормальным. При этом тангенциальное напряжение равно:

где — сила упругости, которая действует вдоль слоя тела; S - площадь рассматриваемого слоя.

Изменение длины стержня () равно:

где E - модуль Юнга; l - длина стержня. Модуль Юнга характеризует упругие свойства материала.

Закон упругой деформации при сдвиге

Сдвигом, называют такую деформацию, при которой плоские слои твердого тела смещаются параллельно друг другу. При таком виде деформации слои не изменяют свою форму и размер. Мерой данной деформации служит угол сдвига () или величина сдвига (). Закон Гука для упругой деформации сдвига записывают как:

где G - модуль поперечной упругости (модуль сдвига), h — толщина деформируемого слоя; - угол сдвига.

Все виды упругой деформации могут сводиться к деформациям растяжения или сжатия, которые происходят одномоментно.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Под действием внешних сил, приложенных к телу, оно может изменять свою форму или объем – деформироваться.

При деформации тела внутри него возникают противодействующие силы- силыупругости , которые по своей природе являются молекулярными силами и в конечном счёте имеют электрическую природу (см. рис.1).

В отсутствие деформации расстояние между молекулами равно r o и силы притяжения и отталкивания компенсируют друг друга. При сжатии тела (r < r o) силы отталкивания будут больше сил притяжения ( от > пр ) и наоборот, при растяжении (r > r o) – большими будут силы молекулярного притяжения. В обоих случаях молекулярные силы (силы упругости) стремятся восстановить первоначальную форму или объём тела. Это свойство тел называется упругостью.

Если после прекращения действия силы тело полностью восстанавливает свою прежнюю форму (или объём), то такая деформация называется упругой , а тело упругим

Рис. 1

Если форма тела (или его объём) полностью не восстанавливается, то деформация называетсянеупругой или пластичной, а тело – пластичным. Идеально упругих и пластичных тел не существует. Реальные тела, как правило, сохраняют упругость лишь при достаточно малых деформациях, а при больших становятся пластичными.

В зависимости от действующих сил различают следующие виды деформаций: растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг, кручение. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующей силы упругости.

Опыт показывает, что сила упругости , возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна величине деформации (смещению) - закон Гука .

= , (1)

где к – коэффициент пропорциональности, постоянная величина для данной деформации данного твердого тела.

Знак (-) показывает на противоположность направлений силы упругости и смещения.

Теория упругости говорит о том, что все виды деформации можно свести к одновременно действующим деформации растяжения (или сжатия) и сдвига.

Рассмотрим более подробно деформацию растяжения.

Пусть к нижнему концу закрепленного стержня длиной х и площадью поперечного сечения S (см. рис 2) приложена деформирующая сила . Стержень удлинится на величину , и в нем возникает сила упругости , которая по третьему закону Ньютона равна по величине и противоположна по направлению деформирующий силе .

Учитывая соотношение (2), закон Гука можно записать так:

или величина деформации прямо пропорциональна деформирующей. силе.. При продольной деформации степень деформации,

Рис. 2 испытываемой телом, принято характеризовать не абсолютным удлинением , а относительным удлинением

ε = , (3)

а деформирующее действие силы – напряжением

σ = , (4)

т.е. отношением деформирующей силы к площади поперечного сечения стержня.

Напряжение измеряется в Па (1 Па = 1 ).

Благодаря взаимодействию частей тела напряжение, создаваемое деформирующей силой, передается во все точки тела – весь объем тела оказывается в напряженном состоянии.

Английский ученый Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение ε прямо пропорционально напряжению

σ = ε (5) -

закон Гука для деформации растяжения (сжатия).

Здесь коэффициент пропорциональности Е – модуль Юнга – не зависит от размеров тела и характеризует упругие свойства материала, из которого изготовлено тело.

Если в формуле 5 принять ε = , т.е. , то = σ т.е. модуль Юнга есть величина, численно равная напряжению, при котором длина стержня увеличивается в 2 раза. Измеряется в Па(1 Па = 1 ) .

Фактически удвоение длины можно наблюдать лишь для каучука и некоторых полимеров. Для других материалов нарушение прочности происходит задолго до того, как длина образца удвоится.

Типичная зависимость между напряжением σ и относительной деформацией показана на (рис. 3).

Рис. 3

При относительно небольших напряжениях деформация упругая (участок ОВ ), и здесь выполняется закон Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Наибольшее напряжение σ упр. при котором деформация ещё остаётся упругой, называется пределом упругости . Далее деформация становится пластичной (участок ВС ), и при значении напряжения σ пр (предел прочности) происходит разрушение тела. Материалы,

для которых область пластичной деформации (ВС )

значительна, называются вязкими , для которых она практически отсутствует – хрупкими . Упругие свойства живых тканей определяются их строением. Композиционное строение кости придает ей нужные механические свойства: твердость, упругость, прочность. При небольших деформациях для неё выполняется закон Гука. Модуль Юнга кости Е ~ 10 гПа , предел прочности σ пр ~ 100 МПа .

Механические свойства кожи, мышц, сосудов, которые состоят из коллагена, эластинов и основной ткани, подобны механическим свойствам полимеров, состоящих из длинных, гибких, причудливо изогнутых молекул. При приложении нагрузки волокна распрямляются, а после снятия нагрузки возвращается в первоначальное состояние. Этим объясняется высокая эластичность мягких тканей. Закон Гука для них не выполняется, т.к. их модуль Юнга – переменная величина.

Растяжение (сжатие) стержня возникает от действия внешних сил, направленных вдоль его оси. Растяжение (сжатие) характеризуется:  абсолютным удлинением (укорочением) Δl ;

 относительной продольной деформацией ε= Δl/ l

 относительной поперечной деформацией ε`= Δa / a = Δb / b

При упругих деформациях междуσ и ε существует зависимость, описываемая законом Гука, ε=σ/E, где Е – модуль упругости I рода (модуль Юнга), Па.Физический смысл модуля Юнга: Модуль упругости численно равен напряжению, при котором абсолютное удлинение стержня равно его первоначальной длине , т.е. Е=σ при ε=1.

14. Механические свойства конструкционных материалов. Диаграмма растяжения.

К механическим свойствам материалов относятся прочностные показатели  предел прочности σ в, предел текучести σ т, и предел выносливости σ -1 ; характеристика жесткости  модуль упругости Е и модуль сдвига G; характеристика сопротивления контактным напряжениям  поверхностная твердость НВ, HRC; показатели эластичности  относительное удлинение δ и относительное поперечное сужение φ; ударная вязкость а.

Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением Δl называется диаграммой растяжения (сжатия) образца Δl = f (F ).

Характерные точки и участки диаграммы:0-1  участок прямолинейной зависимости между нормальным напряжением и относительным удлинением, что отражает закон Гука. Точка 1 соответствует пределу пропорциональности σ пц =F пц /А 0 , где F пц  нагрузка, соответствующая пределу пропорциональности. Точка 1` соответствует пределу упругости σ у, т.е. наибольшему напряжению, при котором в материале еще нет остаточных деформаций. В точке 2 диаграммы материал переходит в область пластичности - наступает явление текучести материала. Участок 2-3 параллелен оси абсцисс (площадка текучести). На участке 3-4 наблюдается упрочнение материала. В точке 4 происходит местное сужение образца. Отношение σ в =F в /А 0 называется пределом прочности. В точке 5 происходит разрыв образца при разрушающей нагрузке F разр.

15. Допускаемые напряжения. Расчеты по допускаемым напряжениям.

Напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называется предельными. Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации. Напряжение, величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым. Допускаемые напряжения устанавливаются с учетом материала конструкции и изменяемости его механических свойств в процессе эксплуатации, степени ответственности конструкции, точности задания нагрузок, срока службы конструкции, точности расчетов на статическую и динамическую прочность.

Для пластичных материалов допускаемые напряжения [σ] выбирают так, чтобы при любых неточностях расчета или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т.е. [σ] = σ 0,2 /[n] т, где [n] т  коэффициент запаса прочности по отношению к σ т.

Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится. В этом случае [σ] = σ в /[n] в. Таким образом, коэффициент запаса прочности [n] имеет сложную структуру и предназначен для гарантии прочности конструкции от любых случайностей и неточностей, возникающих при проектировании и эксплуатации конструкции.

Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

Рис.1. Одноосное напряженное состояние

Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

В итоге получим

Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

С использованием равенства (9) будем иметь

Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим

Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила . Эта сила совершает работу на перемещении . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения , а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: . Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: . Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния